BÖJNING

(In English here)
När man böjer en remsa av tunn plywood
uppstår en spänstiga och vacker kurva.

Vilken geometri följer denna kurva?
Är det olika kurvor för olika material?
Kan kurvan beräknas om man vet
materialets längd och ankarpunkter?
Går det att beräkna mer komplexa fall med fast inspänning,
påverkande krafter, flera krökningar?
Kan man göra liknande beräkningar i 3d?
Kan denna geometri vara användbar i formgivning/produktion?

För att försöka besvara dessa frågor började jag rita av böjda plywood-remsor. Om man böjde ihop båda ändarna möttes de i ungefär 90 graders vinkel och ett slags droppform uppstod.

Här har en pappersremsa böjts och ritats av flera gånger.
Ändpunkterna är konstanta men kurvans längd varierar.

Jag skannade in kurvorna och undersökte dem i CAD-program. Det var uppenbart att det inte rörde sig om cirkelbågar.

Ett 90 centimeter långt, böjligt sågblad ritades av i olika lägen.

 

Resultatet blev 35 kurvor med samma längd men olika avstånd mellan ändpunkterna.

Jag digitaliserade dessa kurvor och försökte arrangera de på olika sätt i CAD-programmet för att försöka finna någon ledtråd till geometrin.

I programmet Rhinoceros kunde kurvorna ritas ungefärligt med hjälp av NURBS kurvor som hade två kontrollpunkter.

Arrangerat på detta sätt tycktes ändpunkterna ligga längs två cirklar med diametern 4/5 av kurvans längd. Förskjutningen mellan cirklarna var 1/4 av diametern.

Jag mätte vinklar och avstånd för att försöka förstå, men kunde inte riktigt se några samband.

Jag involverade en bekant (Ola J.) som hjälpte mig i sökandet. Han hittade en artikel av B.K.P. Horn som hette ”The Curve of Least Energy”, som innehöll några sidor om en spiral som kallas ”Cornu Spiral” eller ”Clothoid”.

På svenska heter denna spiral"klotoid" och är mycket användbar för att rita vägar, järnvägar och berg- och dalbanor. Kurvan används som övergångsform till exempel mellan raka och böjda sträckor på en väg och ger jämnast möjliga förändring av kurvatur.

CAD-programmet MicroStation har ett inbyggt kommando för klotoider och med hjälp av den lyckades jag rita upp följande figur.

 

 

När jag kombinerade dessa kurvor med de jag ritat för hand, visade det sig att de stämde väldigt bra överens!

Klotoidens krökning ändras linjärt utmed dess sträckning. Ola hittade klotoidens formel och gjorde denna tabell i Excel.

Ola lyckades till och med konstruera en klotoid i Excel (!)

De kurvor som jag fått fram genom att rita av sågbladet bestod alltså dubbla (spegelvända) klotoidsegment.

Ännu är inte alla frågor besvarade men det känns som en viktig pusselbit är på plats...


Omkrets arkitektur. Sidan uppdaterad i juli 2007. (English translation here)